拓扑是什么概念?

不同学科对拓扑的定义不尽相同,我就来说说数学中的拓扑。

简单来说,拓扑是集合上定义的一种结构。设T为非空集X的子集族。若T满足以下条件:

1.X与空集都属于T;

2.T中任意两个成员的交属于T;

3.T中任意多个成员的并属于T; 则T称为X上的一个拓扑。具有拓扑T的集合X称为拓扑空间,记为(X,T)。也等价于:

1.X和空集都属于T;

2.T中任意多个成员的并集仍在T中;

3.T中有限多个成员的交集仍在T中。

此时称称T中的成员为这个拓扑空间的开集。最普通的例子便是实数集上的距离拓扑,这与我们通常对实数的认识相同。最简单(粗)的拓扑为平凡拓扑,它只包含T本身和空集,最复杂(细)的拓扑的构成开集为T的所有子集。

同一个集合X,若指定不同的拓扑,则构造出不同的拓扑空间。凡属于X的子集称为X的一个关于T的开子集,即开集。开子集关于全集的补集,称为闭子集,即闭集。一个集合是不是开/闭子集,取决于拓扑的指定。由定义,X本身和空集是既开又闭的子集。

本质上,拓扑就是要给一个集合指定一个几何结构,然后这个集合就成了一个我们可以研究的空间。比如,有了拓扑和开集的定义后,我们就可以摆脱大一数学分析的ε-δ来给出更一般的连续性定义:设A和B是两个拓扑空间,A到B的映射f称为连续的,若任何B的开集在f下的原象是A的开集。这样我们对于函数的研究将不再局限于实数,而是搬到更一般的拓扑空间内了。

有了拓扑结构之后,就可以引入一系列概念以进行深入研究,但拓扑学的内容就不多介绍了。至于物理上的拓扑,那就不太懂了。

发布于 2022-08-29 16:08:34
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